Question

【題目】如圖，四邊形是矩形，沿對角線將折起，使得點在平面內的射影恰好落在邊上．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當時，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）設點在平面上的射影為點，連接，推導出，，從而平面，進而，平面，由此能證明平面平面．

（Ⅱ）以點為原點，線段所在的直線為軸，線段所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解：（Ⅰ）設點在平面上的射影為點，連接，則平面，因為平面，

．

四邊形是矩形，，平面，．

又，平面，平面，

所以平面，

而平面，

平面平面．

（Ⅱ）以點為原點，線段所在的直線為軸，線段所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．設，則，，．

由（Ⅰ）知，又，，，

，，，

，，．

設平面的一個法向量為，

則，即

不妨取，則，，．

而平面的一個法向量為，

．

故二面角的余弦值為．