Question

【題目】已知頂點是坐標原點的拋物線的焦點在軸正半軸上，圓心在直線上的圓與軸相切，且關于點對稱．

（1）求和的標準方程；

（2）過點的直線與交于，與交于，求證：．

Answer 1

【答案】（1）,；（2）證明見解析.

【解析】分析：（1）設的標準方程為，由題意可設．結合中點坐標公式計算可得的標準方程為．半徑，則的標準方程為．

（2）設的斜率為，則其方程為，由弦長公式可得．聯立直線與拋物線的方程有．設，利用韋達定理結合弦長公式可得 ．則．即 ．

詳解：（1）設的標準方程為，則．

已知在直線上，故可設．

因為關于對稱，所以

解得

所以的標準方程為．

因為與軸相切，故半徑，所以的標準方程為．

（2）設的斜率為，那么其方程為，

則到的距離，所以．

由消去并整理得：．

設，則，

那么 ．

所以．

所以，即 ．