Question

【題目】已知橢圓:的離心率，過橢圓的上頂點和右頂點的直線與原點的距離為，

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線經過橢圓左焦點與橢圓交于,兩點，使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點？若存在,求出直線方程；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），或.

【解析】試題分析：（1）由題意，根據離心率定義得到與的關系式，再由點求出直線的方程，根據點到直線距離公式，得到與的關系式，再結合，從而得出橢圓方程；（2）根據題意，可將直線斜率存在與否進行分類討論，由“線段為直徑”，得，再利用向量數量積的坐標運算，從而解決問題.

試題解析：（1）由已知得，因為過橢圓的上頂點和右頂點的直線與原點的距離為，所以 ，解得

故所求橢圓的方程:

（2）橢圓左焦點，

①當直線斜率不存在時，直線與橢圓交于兩點，顯然不存在滿足條件的直線.………6分

②當直線斜率存在時，設直線

聯立，消得，

由于直線經過橢圓左焦點，所以直線必定與橢圓有兩個交點，恒成立

設則，

若以為直徑的圓過點，則，即 (*)

而，代入(*)式得，

即，解得，

即或．

所以存在或使得以線段MN為直徑的圓過原點．

故所求的直線方程為，或.