Question

【題目】在五面體中， , , ，平面平面.

(1)證明:直線平面；

(2)已知為棱上的點，試確定點位置，使二面角的大小為.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點在靠近點的的三等分點處.

【解析】試題分析：（1）證明一條直線垂直一個平面，只需要證明這兩個平面垂直，直線垂直兩個平面的交線即可，先證明， 平面平面，平面平面，即可得到直線平面；（2）根據題意，取的中點，證明兩兩垂直，以為原點， 的方向為軸，建立空間直角坐標系，由二面角的大小為，根據空間向量夾角余弦公式列方程即可確定在棱上的位置.

試題解析：（1）四邊形為菱形， ， 平面平面，平面平面平面，又直線平面.

(2) ， 為正三角形，取的中點，連接，則， 平面平面平面，平面平面平面兩兩垂直，以為原點， 的方向為軸，建立空間直角坐標系， ， ，由（1）知是平面的法向量， ，設，則，設平面的法向量為， ，令，則， ， 二面角為， ，解得， 在靠近點的三等分處.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.