Question

（2009•長寧區二模）已知正三角形ABC邊長為a，用這個三角形的高為邊，作一個新的正三角形，再用這第二個正三角形的高為邊作正三角形，…，這樣無限繼續下去，則所有正三角形的面積之和為

3

a2

．

Answer 1

分析：先設第n個三角形的面積為a_n，根據三角形面積公式得出a₁，a₂，a₃，發現數列{a_n}為等比數列，進而求出前n項和的極限，即可得到答案．

解答：解：設第n個三角形的面積為a_n，則a₁=

1

2

×a×a×sin60°=

3

4

a²，
a₂=

1

2

×

3

2

a×

3

2

a×sin60°=

3 3

16

a²=

3

4

×

3

4

a²，
a₃=

1

2

×

3

4

a×

3

4

a×sin60°=(

3

4

)2×

3

4

a²；
…
∴數列{a_n}為首項為

3

4

a²，公比為

3

4

的等比數列．
所有這些三角形的面積的和為

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）=

lim

n→∞

3 a2 4 [1-( 3 4 )n]

1- 3 4

=

3

a²．
故答案為：

3

a²．

點評：本題主要考查了等比數列的應用以及相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方．