Question

坐標平面中，向量

w

與向量

v

=(2，

5

)互相垂直且等長．請問下列哪些選項是正確的？
（1）向量

w

必為(

5

，-2)或(-

5

，2)
（2）向量

v

+

w

與

v

-

w

等長
（3）向量

v

+

w

與

w

的夾角可能為135°
（4）若向量

u

=a

v

+b

w

，其中，a，b為實數，則向量

u

的長度為

a2+b2

（5）若向量(1，0)=c

v

+d

w

，其中c，d為實數，則c＞0．

Answer 1

分析：（1）由向量

w

與向量

v

互相垂直且等長，可設

w

=(x，y)，列方程組求出；
（2）求出向量

v

+

w

與

v

-

w

的模長；
（3）求出向量

v

+

w

與

w

的夾角；
（4）求出向量

u

的長度；
（5）由向量(1，0)=c

v

+d

w

，列方程組，求出實數c，即可．

解答：解：（1）設

w

=(x，y)，∵

w

⊥

v

?

w

•

v

=0?2x+

5

y=0①；
又∵|

w

|=|

v

|?

x2+y2

=

22+( 5 )2

?x2+y2=9②；
由①②可得：(x，y)=(-

5

，2)或(

5

，-2)，故結論正確；
（2）∵

v

+

w

=(2-

5

，

5

+2)，

v

-

w

=(2+

5

，

5

-2)，
或

v

+

w

=（2+

5

，

5

-2），

v

-

w

=（2-

5

，

5

+2）；
∴|

v

+

w

|=|

v

-

w

|=

(2- 5 )2+( 5 +2)2

=

18

=3

2

，故結論正確；
（3）設

v

+

w

與

w

的夾角為θ，則cosθ=

( v + w )• w

| v + w |×| w |

=

v • w +| w |2

| v + w |×| w |

=

| w |2

| v + w |×| w |

=

1

2

?θ=45°，
故（3）結論不正確；
（4）∵

u

=a

v

+b

w

=(2a-

5

b，

5

a+2b)或(2a+

5

b，

5

a-2b)，
∴|

u

|=

(2a- 5 b)2+( 5 a+2b)2

=3

a2+b2

，故結論不正確；
（5）∵c

v

+d

w

=(1，0)?(2c-

5

d，

5

c+2d)=(1，0)或(2c+

5

d，

5

c-2d)=(1，0)?

2c- 5 d=1 5 c+2d=0

或

2c+ 5 d=1 5 c-2d=0

?c=

2

9

，∴c＞0結論正確；

點評：本題是平面向量性質的綜合應用，考查了求向量的模長，夾角，向量相等，以及解方程組等問題的基本解法，和等價轉化思想，要區分向量運算與數的運算，以避免出現錯誤．