Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n≥1時(shí)，S_n+1是a_n+1與S_n+1+2的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求證：當(dāng)n≥1時(shí)，

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

2

；
（Ⅱ）設(shè)a₁=-1，求S_n的表達(dá)式；
（Ⅲ）設(shè)a₁=-1，且{

n

(pn+q)Sn

}是等差數(shù)列（pq≠0），求證：

p

q

是常數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

S

2 n+1

=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)，整理即可證明
（2）由（1）得：

1

Sn+1

-

1

Sn

=-

1

2

及a₁=-1，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解
（3）由（2）得Cn=-

n2+n

2(pn+q)

，且{C_n}是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可證明

解答：（1）證明：由題意得，當(dāng)n≥1時(shí)，

S

2 n+1

=an+1(Sn+1+2)=(Sn+1-Sn)(Sn+1+2)
⇒

1

Sn

-

1

Sn+1

=

1

2

．…（4分）
（2）解：由（1）得：

1

Sn+1

-

1

Sn

=-

1

2

及a₁=-1
可知：數(shù)列{

1

Sn

}是以-1為首項(xiàng)，以-

1

2

為公差的等差數(shù)列，
可求得：Sn=-

2

n+1

．…（8分）
（3）由（2）得Cn=-

n2+n

2(pn+q)

，且{C_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．
則-n²-n=…=2dpn²+[2dq+2p（c₁-d）]n+2q（c₁-d），
所以c₁-d=0，2dp=-1，2dq+2p（c₁-d）=-1，即2dp=2dq⇒p=q，
所以

p

q

=1（常數(shù)）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用．