Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC，BD垂直相交于點O，且OA=OB=OD=4，OC=3． 將△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小為90°（如圖）．已知Q為EO的中點，點P在線段AB上，且 ．
（Ⅰ）證明：直線PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）求直線BD與平面ADE所成角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）如圖，取OD的中點R，連接PR，QR，則DE∥RQ，
由題知 ，又 ，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，
因為PR，RQ平面ADE，
且AD，DE平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，
又PR∩RQ=R，
故平面PQR∥平面ADE，從而PQ∥平面ADE．
（Ⅱ）解：由題EA=ED=5， ，設點O到平面ADE的距離為d，
則由等體積法可得 ，
故 ，因此 ．
【解析】（Ⅰ）證明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可證明：直線PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等體積法可得點O到平面ADE的距離，即可求直線BD與平面ADE所成角θ的正弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．