Question

已知函數(shù)（其中a＞0）．求證：
（1）用反證法證明函數(shù)f（x）不能為偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a=1．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設(shè)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），代入利用對數(shù)的性質(zhì)，可得矛盾，即可得證；
（2）分充分性、必要性進行論證，即可得到結(jié)論．
解答：證明：（1）假設(shè)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
∴=，即=，化簡得：，
∴a=0，與條件a＞0矛盾，
∴函數(shù)f（x）不能為偶函數(shù)．…（7分）
（2）充分性：由a=1，函數(shù)=，
∵＞0，∴-1＜x＜1，
又f（x）+f（-x）=+=lg1=0，
∴當a=1時，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．…（10分）
必要性：由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，即f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）+f（-x）=+=0，化簡得（2a-1）²=1，
∵a＞0，∴a=1，
∴當函數(shù)f（x）為奇函數(shù)時，a=1．…（14分）
（注：必要性的證明也可由定義域的對稱性得到a=1）
點評：本題考查反證法，考查充要性的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．