Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，過曲線y=f（x）上的點(diǎn)P（1，f（1））的切線方程為y=3x+1．
（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2時有極值，求y=f（x）表達(dá)式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求y=f（x）在[-3，1]的最大值；
（Ⅲ）若函數(shù)y=f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0得到方程組，求出a，b，c的值．
（II）求出導(dǎo)函數(shù)，列出x、f'（x）、f（x）的關(guān)系表，由表求出函數(shù)的最大值．
（III）根據(jù)函數(shù)y=f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，令f′（x）≤≤0在[-1，0]上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到

f′(-1)=2b+3≤0 f′(0)=b≤0

，求出b的范圍．

解答：解：（I）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f'（x）=3x²+2ax+b
由題知

f′(1)=3 3×1+1=f(1) f′(-2)=0

⇒

2a+b+3=3 4=1+a+b+c 12-4a+b=0

⇒

a=2 b=-4 c=5

所以f（x）=x³+2x²-4x+5
（II）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），則x、f'（x）、f（x）的關(guān)系如下表．

x	-3	（-3，-2）	-2	(-2，  2 3 )	2 3	( 2 3 ， 1)	1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8	↑	極大	↓	極小	↑	4

∵f（x）_極大=f（-2）=13，f（-3）=8，f（1）=4
∴f（x）在[-3，1]的最大值為13
（III）由題意知，f′（x）≤≤0在[-1，0]上恒成立，
由（I）知即f'（x）=3x²+-bx+b=3x²+b≤0在[-1，0]上恒成立，
利用二次函數(shù)的性質(zhì)，有

f′(-1)=2b+3≤0 f′(0)=b≤0

，
從而得b≤-

3

2

點(diǎn)評：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決曲線的切線斜率問題；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性問題及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、極值問題．