Question

（本題滿分15分）如圖， 在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面.

（Ⅰ）求二面角的余弦值；

（Ⅱ）點(diǎn)分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。

Answer 1

解析：本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)用，同事考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。

（Ⅰ）解：取線段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)?sub>=及H是EF的中點(diǎn)，所以,

又因?yàn)槠矫?sub>平面.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz

則（2，2，），C（10，8，0），

F（4，0，0），D（10，0，0）.   

故=（-2，2，2），=（6，0，0）.

設(shè)=（x,y,z）為平面的一個(gè)法向量，

       -2x+2y+2z=0

所以

       6x=0.

取，則。

又平面的一個(gè)法向量，

故。

所以二面角的余弦值為

（Ⅱ）解：設(shè)則，

     因?yàn)榉�折后�?sub>與重合，所以，

     故， ，得，

     經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，

所以。

方法二：

（Ⅰ）解：取線段的中點(diǎn),的中點(diǎn),連結(jié)。

      因?yàn)?sub>=及是的中點(diǎn)，

所以

又因?yàn)槠矫?sub>平面，

所以平面,

又平面,

故，

又因?yàn)?sub>、是、的中點(diǎn)，

易知∥，

所以，

于是面，

所以為二面角的平面角，

在中，=，=2，=

所以.

故二面角的余弦值為。

（Ⅱ）解：設(shè),

         因?yàn)榉�折后�?sub>與重合，

所以，

          而，

 

得，

經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)在線段上，

所以。