Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數存在單調增區間，求實數的取值范圍；

（2）若，為函數的兩個不同極值點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由已知可知，若滿足條件，即有解，轉化為有解，即，設，利用導數求函數的最大值；

（2）由已知可知 ，整理為，再通過分析法將需要證明的式子轉化為，若，可變形為，設，即證成立，

若，即證.

（1）由題函數存在增區間，即需有解，即有解，

令，，且當時，，

當時，，

如圖得到函數的大致圖象，故當，

∴時，函數存在增區間；

（2）法1：，為函數的兩個不同極值點知，為的兩根，

即，，

∴，①

∴②，要證，即證，由①代入，

即證：，，

將②代入即證：③

且由（1）知，

若，則③等價于，令，，

即證成立，

而，

∴在單調遞增，∴當時，

∴，所以得證；

若，則③等價于，令，，

，顯然成立.

法2：要證，又由（1）知，，

當時，要證上式成立，即證，易知顯然成立；

當時，，故只需，即證，也即證，

由于時單調遞增，故即證，而，

只需證，成立，令，

只需證在時成立，

而，故在單調遞增，

所以，故原不等式得證.