Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．

（1）證明：平面平面；

（2）當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）

【解析】分析：（1）先證平面CMD,得,再證，進而完成證明。

（2）先建立空間直角坐標系，然后判斷出的位置，求出平面和平面的法向量，進而求得平面與平面所成二面角的正弦值。

詳解：（1）由題設知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因為BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.

因為M為上異于C，D的點,且DC為直徑，所以 DM⊥CM.

又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.

（2）以D為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.

當三棱錐MABC體積最大時，M為的中點.

由題設得，

設是平面MAB的法向量,則

即

可取.

是平面MCD的法向量,因此

，

，

所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是.