Question

（2012•西城區二模）曲線C是平面內到定點F（0，1）和定直線l：y=-1的距離之和等于4的點的軌跡，給出下列三個結論：
①曲線C關于y軸對稱；
②若點P（x，y）在曲線C上，則|y|≤2；
③若點P在曲線C上，則1≤|PF|≤4．
其中，所有正確結論的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：設出曲線上的點的坐標，求出曲線方程，畫出圖象，即可判斷選項的正誤．

解答：解：設P（x，y）是曲線C上的任意一點，
因為曲線C是平面內到定點F（0，1）和定直線l：y=-1的距離之和等于4的點的軌跡，
所以|PF|+|y+1|=4．即

x2+(y-1)2

+|y+1|=4，
解得y≥-1時，y=2-

1

4

x²，當y＜-1時，y=

1

12

x²-2；
顯然①曲線C關于y軸對稱；正確．
②若點P（x，y）在曲線C上，則|y|≤2；正確．
③若點P在曲線C上，|PF|+|y+1|=4，|y|≤2，則1≤|PF|≤4．正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查曲線軌跡方程的求法，曲線的基本性質的應用，考查計算能力．