Question

【題目】如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝ ，點E是棱PB的中點．

（1）求異面直線EC與PD所成角的余弦值；

（2）求二面角B-EC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）.（2.

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，分別求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.

（2）分別求得平面BEC的一個法向量和平面DEC的一個法向量，再利用面面角向量方法求解，注意根據圖形判斷二面角與向量夾角的大小關系確定符號．

（1）因為PA⊥底面ABCD，且底面ABCD為矩形，

所以AB，AD，AP兩兩垂直，

以A為原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

又因為PA＝AB＝ ，AD＝1，

所以A(0，0，0)，B ，C，D(0，1，0)，P

因為E是棱PB的中點，所以E，

所以＝，＝(0，1，－ )，

所以cos〈，〉＝＝，

所以異面直線EC與PD所成角的余弦值為.

（2）由（1）得＝，＝(0，1，0)，＝(，0，0)．

設平面BEC的法向量為＝(x1，y1，z1)，

所以

令x1＝1，則z1＝1，所以平面BEC的一個法向量為＝(1，0，1)．

設平面DEC的法向量為＝(x2，y2，z2)，

所以

令z2＝，則y2＝1，所以平面DEC的一個法向量為＝(0，1，)，

所以cos〈，〉＝＝

.由圖可知二面角B-EC-D為鈍角，所以二面角B-EC-D的余弦值為－.