Question

如圖所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝，AC＝BC＝a，點A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，已知BA1⊥AC1． (1) 求證：BC⊥平面A1ACC1 (2) 求點A1到AB的距離 (3) 求C到平面ABC1的距離

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：∵∠BCA=，分別以CA、CB所在直線為x、y軸，以過C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系． 　　則A(a，0，0)、B(0，a，0)．∵A1D⊥平面ABC，∴AD∥z軸，D(，0，0)． 　　設A1(，0，h)，∴h為斜三棱柱的高． 　　A1D⊥BC，又上BC⊥AC，AC∩A1D=D，∴BC⊥平面AA1C1C．
(2)	∵BA1⊥AC1∴·=0．又=(，－a，h)，=＋=＋ 　　∴=(－，0，h)＋(－a，0，0)=(－a，0，h)．∴·(－a)＋h2=0． 　　∴h=． 　　過A1作A1H⊥AB于H，設=λ，則｜｜為A1到AB的距離． 　　∵=－=－λ=(－，0，a)－λ(－a，a，0)=(λa－，－aλ，a)，=(－a，a．0) 　　又·=0，得－λa2＋－λa2=0，得λ=． 　　∴=(－a，－a，a)，∴｜｜==a．
(3)	方法一：過C作CG⊥平面ABC1于G，則｜｜是C到平面ABC1的距離，且由G、A、B、C1四點都在平面ABC1內，∴存在實數x，y，使=x·＋y·． 　　∴=＋x·＋y·=(a，0，0)＋x·(－a，a，0)＋y·(－a，0，a)． 　　=(a－ax－ay，ax， ay)．又=(－，0，a)，=(－a，a，0)． 　　由CG⊥平面AC1B，則 　　∴ 　　即∴ 　　∴=(a，，a)，∴｜｜=a． 　　方法二：過C作CG⊥平面在ABC1于G交平面A1B1C1于M，設M(m，n，a)． 　　∵C1(－，0，a)，則=(m，n，a)，=(－a，0，a)，=(－a，a，0)． 　　由 　　∴∴＝(a，a，a)． 　　又cos〈，〉= 　∴Rt△CGC1中，｜｜=｜｜·cos〈，〉===a． 　　∴點C到平面ABC1的距離為a． 　　點評：(1)由于A、G、C1、B四點共面，故可由基底、線性表示．(2)求C到平面ABC1的距離可用體積法：=．