Question

(本小題滿分16分)

在數列中，，（≥2，且）,數列的前項和．

（1）證明：數列是等比數列，并求的通項公式；

（2）求；

（3）設，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）；（3）的最大值為.

【解析】第一問由題意，（≥2，且），

則，          

又，

∴數列是首項為，公比為的等比數列

第二問∵{}的通項公式（），

∴當時偶數時，

，

當是奇數時，

若，則

若 則

第三問（3），  ，

令，得，由于，，

的最大值為

 

（1）證明：由題意，（≥2，且），

則，                  ……………2分

又，

∴數列是首項為，公比為的等比數列，          ……………4分  

∴，

∴{}的通項公式為（）；        ……………6分      

（2）∵{}的通項公式（），

∴當時偶數時，

，      ……………8分

當是奇數時，

若，則

若 則，………10分

綜上： ；                       ……………11分 

（3），                     ……………12分

，

令，得，由于，，          ……………14分   

的最大值為                               ……………16分