Question

如圖橢圓的右頂點是A，上下兩個頂點分別為B，D，四邊形OANB是矩形（O為原點），點E，M分別為線段OA，AN的中點．
（Ⅰ）證明：直線DE與直線BM的交點在橢圓C上；
（Ⅱ）若過點E的直線交橢圓于R，S兩點，K為R關于x軸的對稱點（R，K，E不共線），問：直線KS是否經過x軸上一定點，如果是，求這個定點的坐標，如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出直線DE、BM的方程，從而可得交點坐標，代入橢圓方程驗證即可；
（Ⅱ）確定直線SK的方程，求得y=0時，橫坐標為定值，即可得到結論．
解答：（Ⅰ）證明：由題意，得，
所以直線DE的方程，直線BM的方程為，------（2分）
由，得，
所以直線DE與直線BM的交點坐標為，---------------（4分）
因為，所以點在橢圓上．---------（6分）
（Ⅱ）設RS的方程為y=k（x-1），代入，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），則K（x₁，-y₁），，
直線SK的方程為，令y=0，得，
將y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）代入上式得，
所以直線SK經過x軸上的點（4，0）．---------（12分）
點評：本題考查直線方程，考查點與橢圓的位置關系，考查直線恒過定點，確定直線的方程是關鍵．