Question

（2009•長寧區一模）已知向量

m

=（

3

sin2x-1，cosx），

n

=（1，2cosx），設函數f(x)=

m

•

n

．
（1）求函數 f（x）的最小正周期及x∈[0，

π

2

]時的最大值；
（2）把函數f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位，所得到的圖象對應的函數為奇函數，求φ的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積的定義，將式子f(x)=

m

•

n

用坐標展開得：f(x)=

3

sin2x-1+2cos2x，利用降冪公式和輔助角公式，化簡合并為2sin(2x+

π

6

)，最后利用函數y=Asin（ωx+φ）的性質得到函數的最小正周期和最大值；
（2）向左平移φ（φ＞0）個單位，得到y=2sin(2(x+φ)+

π

6

)的圖象，所得函數為奇函數，利用f（0）=0，可得φ的最小值．

解答：解：
（1）f(x)=

3

sin2x-1+2cos2x（2分）
=2sin(2x+

π

6

)．              （3分）
最小正周期為T=

2π

2

=π．    （5分）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
因此當2x+

π

6

=

π

2

時f_max=2．（8分）
（2）圖象平移后解析式為y=2sin(2(x+φ)+

π

6

)
y=2sin(2x+2?+

π

6

)為奇函數，（11分）
∴f（0）=0，即2?+

π

6

=kπ，(k∈Z)（14分）
∵φ＞0，
∴k=1時φ最小值為

5π

12

．                       （16分）

點評：本題是一道綜合題，著重考查了向量的數量積公式和三角函數的圖象與性質，屬于中檔題．熟練運用三角函數的降冪公式和輔助角公式，熟悉函數Asin（ωx+φ）的圖象與性質，是解決好本題的關鍵．