Question

【題目】已知函數， .

（1）討論函數的單調區間；

（2）若有兩個零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）求出函數g（x）的導數，通過討論a的范圍，判斷函數g（x）的單調性結合函數零點的個數確定a的范圍即可．

解析：

（Ⅰ）.

（i）若，則當時， ；當時， ；

故函數在單調遞減，在單調遞增．

（ii）當時，由，解得： 或.

①若，即，則， ，

故在單調遞增．

②若，即，則當時， ；當時， ；故函數在， 單調遞增，在單調遞減．

③若，即，則當時， ；當時， ；故函數在， 單調遞增，在單調遞減．

（Ⅱ）（i）當時，由（Ⅰ）知，函數在單調遞減，在單調遞增．

∵，

取實數滿足且，則

，

所以有兩個零點．

（ii）若，則，故只有一個零點．

（iii）若，由（I）知，

當，則在單調遞增，又當時， ，故不存在兩個零點； 當，則函數在單調遞增；在單調遞減．又當時， ，故不存在兩個零點．

綜上所述， 的取值范圍是．