Question

給出下列四個命題：
①如果橢圓的一條弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線的斜率為；
②過點P（0，1）與拋物線y²=x有且只有一個交點的直線共有3條．
③雙曲線的焦點到漸近線的距離為b．
④已知拋物線y²=2px上兩點A（x₁，x₂），B（x₂，y₂）且OA⊥OB（O為原點），則y₁y₂=-p²．
其中正確的命題有    （請寫出你認為正確的命題的序號）

Answer 1

【答案】分析：①利用直線和橢圓的位置關系判斷．②利用直線和拋物線的位置關系判斷．
③利用雙曲線的定義和方程判斷．④利用直線和拋物線的位置關系判斷．
解答：解：①設弦的端點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
將A、B坐標代入橢圓方程，兩式相減得，
即，所以這條弦所在的直線的斜率為，所以①正確．
②當過點P（0，1）的直線存在斜率時，設其方程為：y=kx+1，
由，消y得k²x²+（2k-1）x+1=0，
若k=0，方程為-x+1=0，解得x=1，此時直線與拋物線只有一個交點（1，1）；
若k≠0，令△=（2k-1）²-4k²=0，解得k=，此時直線與拋物線相切，只有一個交點；
當過點P（0，1）的直線不存在斜率時，該直線方程為x=0，與拋物線相切只有一個交點；
綜上，過點P（0，1）與拋物線y²=x有且只有一個交點的直線有3條．所以②正確．
③雙曲線的一個焦點為F（c，0），雙曲線的一條漸近線為y=，即bx-ay=0，所以焦點到漸近線的距離
d=，所以③正確．
④A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點，并且滿足OA⊥OB．
∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，則，解得y₁y₂=-4p²，所以④錯誤．
故答案為：①②③．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系的判斷，綜合性較強．