Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與直x=4的距離等于它到定點(diǎn)F（1，0）的距離的2倍，
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）點(diǎn)M（1，1）在所求軌跡內(nèi)，且過點(diǎn)M的直線與曲線C交于A、B，當(dāng)M是線段AB中點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式及兩點(diǎn)間的距離公式將已知的幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，化簡得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）先檢驗(yàn)直線斜率不存在時(shí)，再設(shè)出直線斜率存在的方程，設(shè)出兩交點(diǎn)坐標(biāo)，將兩交點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，兩個(gè)等式相減得到直線的斜率與中點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，求出直線的方程．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），由

|x-4|

(x-1)2+y2

=2，平方整理得

x2

4

+

y2

3

=1即為軌跡C的方程．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線x=1與橢圓交于兩點(diǎn)，由圖形的對稱性，
線段AB的中點(diǎn)應(yīng)在x軸上，M點(diǎn)不滿足題意．故直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-1）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

x12 4 + y12 3 = 1 x22 4 + y22 3 =1

作差得

x12-x22

4

=-

y12-y22

3

∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

x1+x2

y1+y2

=-

3

4

∴直線AB的方程為：y-1=-

3

4

(x-1)
即3x+4y-7=0

點(diǎn)評：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題，若牽扯到相交弦的中點(diǎn)問題，一般利用設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓錐曲線的方程，作差得到直線的斜率與相交弦的中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系．