Question

f（x）=a₁sin（x+β₁）+a₂sin（x+β₂）+…+a_nsin（x+β_n），其中a_i、β_i（i=1，2，…，n）均為常數，下列說法正確的有

（1）（2）（3）（4）

（1）若f(0)=0，  f(

π

2

)=0，則對于任意x∈R，f（x）=0恒成立；
（2）若f（0）=0，則f（x）是奇函數； 
（3）若f(

π

2

)=0，則f（x）是偶函數；
（4）若f2(0)+f2(

π

2

)≠0，且當x₁≠x₂時f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁-x₂=kπ（k∈Z）．

Answer 1

分析：根據和差角公式，類比推理可將函數f（x）=a₁sin（x+β₁）+a₂sin（x+β₂）+…+a_nsin（x+β_n）的解析式化簡為f（x）=Msin（x+φ）的形式，進而根據三角函數的圖象和性質，逐一判斷四個答案，可得結論．

解答：解：∵f（x）=a₁sin（x+β₁）+a₂sin（x+β₂）+…+a_nsin（x+β_n）=Msin（x+φ）
（1）中，若f（0）=Msinφ=0，f（

π

2

）=Mcosφ=0，則M=0，所以f（x）=0恒成立，故（1）正確；
（2）中，若f（0）=Msinφ=0，所以sinφ=0，所以f（x）=±Msinx，f（-x）=

.

+

Msinx，故f（-x）=-f（x），故f（x）奇函數，故（2）正確；
（3）中，若f（

π

2

）=Mcosφ=0，所以cosφ=0，所以f（x）=±Mcosx，f（-x）=

.

+

Mcosx，故f（-x）=f（x），故f（x）偶函數，故（3）正確；
（4）中，若f2(0)+f2(

π

2

)≠0，且當x₁≠x₂時f（x₁）=f（x₂）=0，則x₁，x₂相差半個周期的整數倍，由f（x）=Msin（x+φ）的周期為2π可得x₁-x₂=kπ（k∈Z），故（4）正確；
故答案為：（1）（2）（3）（4）

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數的真假判斷與應用，其中將已知中函數的解析式化為f（x）=Msin（x+φ）的形式，是解答的關鍵．