Question

如圖，F₁，F₂是離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，直線l：x=-

1

2

將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1：3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求

F2P

•

F2Q

的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設F₂（c，0），則

c- 1 2

c+ 1 2

=

1

3

，所以c=1．
因為離心率e=

2

2

，所以a=

2

，所以b=1
所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x=-

1

2

，此時P（-

2

，0）、Q（

2

，0），

F2P

•

F2Q

=-1．
當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的斜率為k，M（-

1

2

，m）（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

得（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•

y1-y2

x1-x2

=0，
則-1+4mk=0，∴k=

1

4m

．
此時，直線PQ斜率為k₁=-4m，PQ的直線方程為y-m=-4m(x+

1

2

)，即y=-4mx-m．
聯立

y=-4mx-m x2 2 +y2=1

消去y，整理得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．
所以x1+x2=-

16m2

32m2+1

，x1x2=

2m2-2

32m2+1

．
于是

F2P

•

F2Q

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+（4mx₁+m）（4mx₂+m）
=(1+16m2)x1x2+(4m2-1)(x1+x2)+1+m2
=

(1+16m2)(2m2-2)

32m2+1

+

(4m2-1)(-16m2)

32m2+1

+1+m2=

19m2-1

32m2+1

．
令t=1+32m²，1＜t＜29，則

F2P

•

F2Q

=

19

32

-

51

32t

．
又1＜t＜29，所以-1＜

F2P

•

F2Q

＜

125

232

．
綜上，

F2P

•

F2Q

的取值范圍為[-1，

125

232

）．…（15分）