Question

某廠家研發甲、乙兩種產品準備試產，經調研，生產甲產品需固定成本100萬元，每生產一件產品，成本增加1萬元，每件銷售價格p（萬元/件）與產量x（件）滿足關系p=25-

1

8

x；乙產品的利潤L（萬元）與成本t（萬元）的關系為L=

0，0≤t≤4 80lnt，4＜t≤100.

現有資金200萬元，所生產的產品都能銷售出去，并且甲產品必須生產．
（I）要使甲產品的利潤最大，應生產甲產品多少件；
（Ⅱ）若資金全部投入生產，如何分配對甲、乙的投資，能使廠家獲得的利潤最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出生產甲產品x件的利潤表達式，再利用函數的單調性即可得出；
（Ⅱ）先得出廠家獲得利潤的函數表達式，再利用導數和二次函數得出函數的單調性即可得出最大值．

解答：解：（Ⅰ）設f（x）表示生產甲產品x件的利潤，則f（x）=px-100-x=（25-

1

8

x）x-100-x=-

1

8

x2+24x-100=-

1

8

(x-96)2+1052，x必須滿足

x＞0 100+x≤200

解得0＜x≤100．
∴x∈（0，100]，因此當x=96時，f（x）取得最大值，f（96）=1052．
（Ⅱ）設200萬元資金中的x萬元用于生產乙產品，則（200-x）萬元用于生產甲產品（至多只生產甲產品200-x-100=100-x件，∵甲產品必須生產，∴0≤x＜100）．
設g（x）表示廠家獲得的利潤，則g（x）=

- 1 8 (x-4)2+1052，當0≤x≤4時 80lnt- 1 8 (x-4)2+1052，當4＜x＜100時

，
①當0≤x≤4時，g（x）單調遞增，∴x=4，g（x）取得最大值g（4）=1052；
②當4＜x＜100時，g（x）=80lnx-

1

8

(x-4)2+1052，則g′(x)=

80

x

-

1

4

(x-4)=

-(x-20)(x+16)

4x

，
令g^′（x）=0，解得x=20．
當4＜x＜20時，g^′（x）＞0，函數g（x）在區間（4，20）上單調遞增；當20＜x＜100時，g^′（x）＜0，函數g（x）在區間（4，20）上單調遞減．
∴g（x）在x=20取得最大值，且g（20）=80ln20+1020．
∵g（20）-g（4）=80ln20-32＞80-32＞0，
∴當x=20時，能使廠家獲得的利潤最大．即把20萬元用于生產乙產品，把180萬元用于生產甲產品，能使廠家獲得最大利潤為80ln20+1020萬元．

點評：正確列出函數的表達式，熟練掌握二次函數的單調性和利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．