Question

橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之積最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是

（±5，0）

．

Answer 1

分析：設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁，F(xiàn)₂，依題意可知|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，從而得出|PF₁|•|PF₂|，根據(jù)x的取值范圍可求得|PF₁|•|PF₂的最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)動(dòng)P在橢圓的長軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．

解答：解：設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁，F(xiàn)₂，橢圓上一點(diǎn)P（x，y），
依題意可知|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
從而得出|PF₁|•|PF₂|=（a+ex）（a-ex）=a²-e²x²，
根據(jù)x的取值范圍[-a，a]，
得|PF₁|•|PF₂的最小值a²-e²a²，當(dāng)且僅當(dāng)x=±a時(shí)等號(hào)成立，
根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)動(dòng)P在橢圓的長軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（±5，0）．
故答案為：（±5，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的基本性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解和運(yùn)用．