Question

已知變量t，y滿足關系式loga

t

a3

=logt

y

a3

，a＞0且a≠1，t＞0且t≠1，變量t，x滿足關系式t=a^x，變量y，x滿足函數關系式y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）表達式；
（2）若函數y=f（x）在[2a，3a]上具有單調性，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把t=a^x代入loga

t

a3

=logt

y

a3

中，利用對數恒等式化簡得x-3=logt

y

a3

，利用對數和指數的互化以及指數的運算性質，即可求得y=f（x）的表達式．
（2）f（x）=ax2-3x+3（（x≠0）=a(x-

3

2

)2+

3

4

（x≠0），由f（x）在[2a，3a]上具有單調性，得3a≤

3

2

或2a≥

3

2

，解出即可；

解答：解：（1）由loga

t

a3

=logt

y

a3

，得logat-logaa3=logt

y

a3

，
又t=a^x，∴logaax-3=logt

y

a3

，即x-3=logt

y

a3

，
∴

y

a3

=t^x-3=（a^x）^x-3=ax2-3x，
∴y=a³ax2-3x=ax2-3x+3（x≠0），
故y=f（x）=ax2-3x+3（x≠0）；
（2）∵f（x）=ax2-3x+3（x≠0）=a(x-

3

2

)2+

3

4

（x≠0），且f（x）在[2a，3a]上具有單調性，
∴3a≤

3

2

或2a≥

3

2

，解得a≤

1

2

或a≥

3

4

且a≠1，
故實數a的取值范圍是：（0，

1

2

]∪[

3

4

，1）∪（1，+∞）．

點評：本題考查對數的運算法則和指數與對數的互化、復合函數的單調性等基礎知識，注意函數的定義域，考查了運算能力．