Question

在數列{a_n}中，對于任意的正整數n都有a₁+a₂+…+a_n=3ⁿ-1，則{a_n²}的前n項和為（　　）

• A．9ⁿ-1
• B．

  9n-1

  2

• C．

  9n-1

  4

• D．

  4

  9

Answer 1

分析：由a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，可求得a_n，從而可知a_n²，再判斷數列{a_n²}是等比數列，以及首項和公比，再利用等比數列的求和公式即可求得答案．

解答：解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=3ⁿ⁺¹-1，②
②-①得：a_n+1=3ⁿ⁺¹-3ⁿ=2×3ⁿ，
∴a_n=2×3^n-1．
當n=1時，a₁=3¹-1=2，符合上式，
∴a_n=2×3^n-1．
∴a_n²=4×9^n-1，∴a₁²=4，
∴{a_n²}是以4為首項，9為公比的等比數列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

4(1-9n)

1-9

=

9n-1

2

，
故選B．

點評：本題考查數列的求和，考查數列通項公式的確定及等比數列的判斷與求和公式的綜合應用，屬于中檔題．