Question

ω是正實數，設S_ω={θ|f（x）=sin[ω（x+θ）]是偶函數}，若對每個實數a，S_ω∩（a，a+1）的元素不超過2個，且有a使S_ω∩（a，a+1）含2個元素，則ω的取值范圍是

（π，2π]

．

Answer 1

分析：依題意，ωθ=kπ+

π

2

（k∈Z）?θ=

kπ

ω

+

π

2ω

（k∈Z），于是相鄰兩θ的距離為

π

ω

，依題意

1

2

≤

π

ω

＜1，從而可得ω的取值范圍．

解答：解：要使f（x）=sin[ω（x+θ）]是偶函數，則ωθ=

π

2

+kπ，k∈Z，∴θ=

π

2ω

+

kπ

ω

（k∈Z），
∴相鄰兩θ的距離為

π

ω

．
∵S_ω∩（a，a+1）的元素不超過2個，且有a使S_ω∩（a，a+1）含2個元素，
∴

1

2

≤

π

ω

＜1．
∴1＜

ω

π

≤2．
∴π＜ω≤2π．
∴ω的取值范圍是（π，2π]．
故答案為：（π，2π]．

點評：本題考查正弦函數的奇偶性，考查交集及其運算，得到

1

2

≤

π

ω

＜1是關鍵，突出考查抽象思維與邏輯思維，屬于難題．