Question

已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如圖，設點F₀，F₁，F₂是相應橢圓的焦點，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圓”與x，y軸的交點，
（1）若三角形F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求的取值范圍；
（3）一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦．是否存在實數k，使得斜率為k的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，
于是，
所求“果圓”方程為，

（2）由題意，得a+c＞2b，即．
∵（2b）²＞b²+c²=a²，∴a²-b²＞（2b-a）²，得．
又b²＞c²=a²-b²，
∴．∴．

（3）設“果圓”C的方程為，．
記平行弦的斜率為k．
當k=0時，直線y=t（-b≤t≤b）與半橢圓的交點是P，
與半橢圓的交點是Q．
∴P，Q的中點M（x，y）滿足得．
∵a＜2b，∴．
綜上所述，當k=0時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．
當k＞0時，以k為斜率過B₁的直線l與半橢圓的交點是．
由此，在直線l右側，以k為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．
當k＜0時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．
分析：（1）因為，
所以，
由此可知“果圓”方程為，．
（2）由題意，得，所以a²-b²＞（2b-a）²，得．再由可知的取值范圍．
（3）設“果圓”C的方程為，．記平行弦的斜率為k．當k=0時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．當k＞0時，以k為斜率過B₁的直線l與半橢圓的交點是．由此，在直線l右側，以k為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．
當k＜0時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．