Question

判定下列命題的真假

（1）兩個平面垂直，過其中一個平面內一點作與它們的交線垂直的直線，必垂直于另一個平面；

（2）兩個平面垂直，分別在這兩個平面內且互相垂直的兩直線，一定分別與另一平面垂直；

（3）兩平面垂直，分別在這兩個平面內的兩直線互相垂直。

Answer 1

解析:

（1）若該點在兩個平面的交線上，則命題是錯誤的，

如圖2－55，正方體AC₁中，平面AC⊥平面AD₁，平面AC∩平面AD₁＝AD，

在AD上取點A，連結AB₁，則AB₁⊥AD，即過棱上一點A的直線AB₁

與棱垂直，但AB₁與平面ABCD不垂直，其錯誤的原因是AB₁沒有保證在平面ADD₁A₁內，可以看出：線在面內這一條件的重要性；

（2）該命題注意了直線在平面內，但不能保證這兩條直線都與棱垂直，如圖2－56，在正方體AC₁中，平面AD₁⊥平面AC，AD₁平面ADD₁A₁，AB平面ABCD，且AB⊥AD₁，即AB與AD₁相互垂直，但AD₁與平面ABCD不垂直；

（3）如圖2－56：正方體AC₁中，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，AD₁平面ADD₁A₁，AC平面ABCD，AD₁與AC所成的角為60，即AD₁與AC不垂直

由上面的分析知，命題⑴、⑵、⑶都是假命題。   

點評:在利用兩個平面垂直的性質定理時，要注意下列的三個條件缺一不可：①兩個平面垂直；②直線必須在其中一個面內；③直線必須垂直它們的交線。