Question

【題目】已知橢圓的離心率，橢圓上的點到其左焦點的最大距離為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓左焦點的直線與橢圓交于兩點，直線，過點作直線的垂線與直線交于點，求的最小值和此時直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值為，此時直線的方程為．

【解析】

（1）根據橢圓上的點到其左焦點的最大距離為，得到，再由，聯立求解即可.

（2）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，可分別求導T，A，B的坐標，然后利用兩點間距離公式求解；②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由，利用弦長公式求得，再由，求得交點，從而得到，代入求解.

（1）由題可知，又橢圓上的點到其左焦點的最大距離為，

所以，

所以，，

∴，

所以橢圓的方程為．

（2）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，則，

所以，，此時；

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，

由，

得，

由韋達定理得，，

則，

聯立，可得，

所以

所以.

因為所以等號不成立．

綜上，的最小值為，此時直線的方程為．