Question

一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測時，如圖1發(fā)現(xiàn)一個正三角形的島嶼（邊長為

3

）；第二次觀測時，如圖2發(fā)現(xiàn)它每邊中央

1

3

處還有一正三角形海岬，形成了六角的星形；第三次觀測時，如圖3發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央

1

3

處又有一向外突出的正三角形海岬，把這個過程無限地繼續(xù)下去，就得到著名的數(shù)學模型--柯克島．把第1，2，3，…，n次觀測到的島的海岸線長記為a₁，a₂，a₃，…，a_n，試求a₁，a₂，a₃的值及a_n的表達式．

Answer 1

分析：因為第一個圖形的邊長為

3

，從第二個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的

1

3

，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出第n個圖形的邊長；因為第一個圖形的邊數(shù)為3，從第二個圖形起，每一個圖形的邊數(shù)均為上一個圖形邊數(shù)的4倍，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答：解：由題意知，a1=3

3

，  a2=3

3

×

4

3

=4

3

，  a3=3

3

×(

4

3

)2=

16

3

3

．
因為第一個圖形的邊長為

3

，從第二個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的

1

3

，所以第n個圖形的邊長為

3

•(

1

3

)n-1；                        
因為第一個圖形的邊數(shù)為3，從第二個圖形起，每一個圖形的邊數(shù)均為上一個圖形邊數(shù)的4倍，所以第n個圖形的邊數(shù)為3×4^n-1．
因此，an=3

3

•(

4

3

)n-1．

點評：正確找出規(guī)律和熟練掌握等比數(shù)列的通項公式是解題的關(guān)鍵．