Question

設動點M的坐標為（x，y）（x、y∈R），向量

a

=（x-2，y），

b

=（x+2，y），且|a|+|b|=8，
（I）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點N（0，2）作直線l與曲線C交于A、B兩點，若

OP

=

OA

+

OB

（O為坐標原點），是否存在直線l，使得四邊形OAPB為矩形，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）把

a

=（x-2，y），

b

=（x+2，y）代入|a|+|b|=8，根據橢圓的定義即可求得動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）假設存在直線l，使得四邊形OAPB為矩形，即OA⊥OB，設出直線l的方程，聯立直線和橢圓方程，利用韋達定理即可得出結論．

解答：解：（I）因為|a|+|b|=8，所以

(x+2)2+y2

+

(x-2)2+y2

=8．
所以動點M的軌跡是到定點F₁（-2，0），F₂（2，0）的距離之和為8的橢圓．
則曲線C的方程是

x2

16

+

y2

12

=1．
（Ⅱ）因為直線l過點N（0，2），若直線l的斜率不存在，則l的方程為x=0，與橢圓的兩個交點A、B為橢圓的頂點．
由

OP

=

OA

+

OB

，則P與O重合，與OAPB為四邊形矛盾．
若直線l的斜率存在，設方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=kx+2 x2 16 + y2 12 =1

得（4k²+3）x²+16kx-32=0．
△=256k²+128（4k²+3）＞0恒成立．
由根與系數關系得：x1+x2=-

16k

4k2+3

，x1x2=

-32

4k2+3

．
因為

OP

=

OA

+

OB

，所以四邊形OAPB為平行四邊形．
若存在直線l使四邊形OAPB為矩形，則

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=0．
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0．
即(1+k2)(-

32

4k2+3

)-2k•

16k

4k2+3

+4=0．
化簡得：12k²+5=0．與斜率存在矛盾．
則不存在直線l，使得四邊形OAPB為矩形．

點評：考查向量和解析幾何相結合，體現了向量的工具性，考查橢圓的定義和直線與橢圓的位置關系問題，屬難題．