Question

“1＜a＜2”是“對任意的正數x，都有2x+

a

x

≥1”的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件?

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件?

Answer 1

分析：根據基本不等式，得當“1＜a＜2”時，2x+

a

x

的最小值大于1，故充分性成立；再由二次函數在（0，+∞）上求最值，可得必要性不成立．由此得到正確選項．

解答：解：先看充分性
當“1＜a＜2”成立時，2x+

a

x

≥2

2a

＞2

2

，
故“對任意的正數x，都有2x+

a

x

≥1”成立，說明充分性成立；
再看必要性
若“對任意的正數x，都有2x+

a

x

≥1”成立，則2x²-x+a≥0，
所以（2x²-x+a）_min=a-

1

8

≥0，解之得a≥

1

8

，
不一定有“1＜a＜2”成立，故必要性不成立
故選A

點評：本題以充分必要條件的判斷為載體，考查了不等式的性質、基本不等式和二次函數求最值等知識點，屬于基礎題．