Question

已知a∈R，曲線．
（1）若曲線C₁表示圓，求a的取值范圍；
（2）當a=2時，求C₁所表示曲線關于直線2y+1=0的對稱曲線C₂的方程；
（3）在第2題條件下，是否存在整數m，使得曲線C₁與曲線C₂上均恰有兩點到直線0≤x≤1時，的距離等于1，若存在，求出m值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1），即
當時C₁表示圓，此時a²+4a+4＞0，∴a≠-2…（3分）
（2）a=2時，C₁：（x-1）²+（y+2）²=4，圓心（1，-2）
圓心C₁（1，-2）關于直線2y+1=0的對稱點為C₂（1，1）
圓…（6分）
（3）設C₁（1，-2）到直線2x+y+m=0的距離為d₁，設C₂（1，1）到直線2x+y+m=0的距離為d₂，則
∵d₁∈（1，3），∴，∴，∴…（9分），
∵d₂∈（1，3），∴，
∴，∴…（12分）
∴，
又m為整數，∴m=-6或3．…（14分）
所以，存在整數m=-6或3，使得曲線C₁與曲線C₂上均恰有兩點到直線2x+y+m=0的距離等于1 …（15分）
分析：（1）化圓的方程為標準方程，利用半徑大于0，可求a的取值范圍；
（2）確定圓心C₁（1，-2）關于直線2y+1=0的對稱點為C₂（1，1），即可得到C₂的方程；
（3）設C₁（1，-2）到直線2x+y+m=0的距離為d₁，設C₂（1，1）到直線2x+y+m=0的距離為d₂，則根據d₁∈（1，3），d₂∈（1，3），結合m為整數，可得結論．
點評：本題考查圓的標準方程，考查圓的對稱性，考查圓心到直線距離公式的運用，屬于中檔題．