Question

(本小題滿分10分)如圖，在平面直角坐標系xoy中，A(a,0)，B(0,a)，C(-4,0)，D(0,4)(a>0)，設DAOB的外接圓圓心為E。
(1)若圓E與直線CD相切，求實數a的值；
(2)設點P在圓E上，使DPCD的面積等于12的點P有且只有三個，試問這樣的圓E是否存在，若存在，求出圓E的標準方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

(1)解：直線CD方程為y＝x+4，圓心E(,)，半徑r＝……2分
由題意得＝……………………3分
解得a＝4……………………4分
(2)這樣的圓E存在，理由如下：
因為|CD|＝4
所以當DPCD面積為12時，點P到CD的距離為3
又圓心E到直線CD的距離為2………………6分
要使DPCD的面積等于12的點有且只有三個。
只需圓E的半徑＝5
解得a＝10……………………………………8分
此時圓E的標準方程為
(x－5)²＋(y－5)²＝50…………………………10分

略