Question

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設，過點作與軸不重合的直線交橢圓于、兩點，連結、分別交直線于、兩點．試問直線、的斜率之積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）由直線和圓相切，求，再由離心率，得，從而求，進而求橢圓的方程；（2）要說明直線、的斜率之積是否為定值，關鍵是確定、兩點的坐標.首先設直線的方程，并與橢圓聯立，設，利用三點共線確定、兩點的坐標的坐標，再計算直線、的斜率之積，這時會涉及到，結合根與系數的關系，研究其值是否為定值即可．
試題解析：（1），故     4分
（2）設，若直線與縱軸垂直，  

則中有一點與重合，與題意不符，
故可設直線.           5分
將其與橢圓方程聯立，消去得：
          6分
     7分
由三點共線可知，，，        8分
同理可得                                             9分
                  10分
而       11分
所以
故直線、的斜率為定值.                                  13分
考點：1、橢圓的標準方程和簡單幾何性質；2、直線和橢圓的位置關系.