Question

已知定義在R的函數f（x）對任意實數x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x＞0時，f（x）＜0，又f（1）=-

2

3

，
（1）求征，f（x）為奇函數；
（2）求證：f（x）在R上是減函數；
（3）求f（x）在[-3，6]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）首先令y=-x，求得f（x）+f（-x）=f（0），然后求出f（0）的值，進而得出f（x）=-f（-x），即可證明為奇函數；
（2）設x₁＜x₂，通過f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）來判斷f（x₂）與f（x₁）的大小關系；
（3）先求出f（3）的值，由（2）可知函數為減函數，可知x=-3時，取得最大值，x=6時取得最小值．

解答：解：（1）證明：令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0），
當x=1，y=0時，則f（1）+f（0）=f（1）
∴f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（x）=-f（-x）
∴f（x）為奇函數
（2）設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，由題意得f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在R是減函數；
（3）∵f（1）=-

2

3

∴f（2）=-

4

3

  f（3）=-2
∵f（x）在[-3，6]上是減函數，
∴f（x）_max=f（-3）=-f（3）=2
f（x）_min=f（6）=-4

點評：本題主要考查了函數奇偶性、單調性的判斷，對于抽象函數奇偶性的判斷一般采取取特殊值的方法．