Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+lnx．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；
（2）已知a＞1，求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=ax²的圖象的下方．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后確定函數(shù)的極值，最后比較極值與端點值的大小，從而確定函數(shù)的最大和最小值．
（2）欲證明函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）的圖象的下方，令F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2+lnx-ax2，即證：

1

2

x2+lnx＜ax2利用導數(shù)研究函數(shù)F（x）單調(diào)性r和極值即可證得結(jié)論，

解答：解：（1）∵f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

（2分）
當x∈[1，e]時，f'（x）＞0．∴f（x）在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)．（4分）
∴fmax(x)=f(e)=1+

e2

2

， fmin(x)=f(1)=

1

2

．（6分）
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2+lnx-ax2，
則F′(x)=x+

1

x

-2ax=

(1-2a)x2+1

x

．（8分）∵a＞1，∴1-2a＜-1
所以，當x＞1時，F(xiàn)'（x）＜0．∴F（x）在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)．（10分）
又函數(shù)F（x）在x=1處連續(xù)，且F(1)=

1

2

+0-a＜0．（11分）
∴F（x）＜F（1），即

1

2

x2+lnx-ax2＜0，即

1

2

x2+lnx＜ax2
所以在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）的圖象的下方．（12分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．