Question

定義兩個實數間的一種新運算“*”：x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R．對任意實數a，b，c，給出如下結論：
①（a*b）*c=a*（b*c）；  
②a*b=b*a；  
③（a*b）+c=（a+c）*（b+c）；
其中正確的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R，對①②③逐個判斷即可．

解答：解：∵x*y=lg（10^x+10^y），x，y∈R，
∴①中，a*b=lg（10^a+10^b），
∴（a*b）*c=lg（10^a*b+10^c）=lg（10lg(10a+10b)+10^c）=lg（10^a+10^b+10^c）；
同理可求，a*（b*c）=lg（10^a+10^b+10^c）；  
∴（a*b）*c=a*（b*c），故①正確；  
②由①知，a*b=lg（10^a+10^b），同理可得b*a=lg（10^a+10^b），
即a*b=b*a，故②正確；
③中，左邊（a*b）+c=lg（10^a+10^b）+c；
右邊（a+c）*（b+c）
=lg（10^a+c+10^b+c）
=lg[10^c（10^a+10^b）]
=lg10^c+lg（10^a+10^b）
=c+lg（10^a+10^b）=左邊，
故③正確；
故選：D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查對數的運算性質與對數恒等式的應用，考查推理與運算能力，屬于中檔題．