Question

【題目】在中，，且.以所在直線為軸，中點為坐標原點建立平面直角坐標系.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程;

（Ⅱ）已知定點，不垂直于的動直線與軌跡相交于兩點，若直線 關于直線對稱，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）利用正弦定理化簡已知條件，根據橢圓的定義求得軌跡方程.（II）設出直線方程為，代入的軌跡方程，寫出判別式和韋達定理，根據直線關于軸對稱，列方程，化簡后求得直線過，求得的表達式，并利用單調性求得面積的取值范圍.

解： (Ⅰ)由得：,

由正弦定理

所以點C的軌跡是：以為焦點的橢圓(除軸上的點),其中，則，

故軌跡的軌跡方程為.

(Ⅱ) 由題，由題可知，直線的斜率存在，設的方程為，將直線的方程代入軌跡的方程得:.

由得，，且

∵直線關于軸對稱,∴，即.

化簡得：,

,得

那么直線過點,,所以面積：

設,,顯然，S在上單調遞減，

.