Question

已知拋物線(xiàn)C₁：y＝x²＋2x和C₂：y＝－x²＋a．如果直線(xiàn)l同時(shí)是C₁和C₂的切線(xiàn)，稱(chēng)l是C₁和C₂的公切線(xiàn)，公切線(xiàn)上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線(xiàn)段稱(chēng)為公切線(xiàn)段．

(1)a取什么值時(shí)，C₁和C₂有且僅有一條公切線(xiàn)？寫(xiě)出此公切線(xiàn)的方程．

(2)若C₁和C₂有兩條公切線(xiàn)，證明相應(yīng)的兩條公切線(xiàn)段互相平分．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：函數(shù)y＝x2＋2x的導(dǎo)數(shù)＝2x＋2，曲線(xiàn)C1在點(diǎn)P(x1，＋2x1)的切線(xiàn)方程是y－(＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－．① 　　函數(shù)y＝－x2＋a的導(dǎo)數(shù)＝－2x，曲線(xiàn)C2在點(diǎn)Q(x2，＋a)的切線(xiàn)方程是y－(＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋＋a．② 　　如果直線(xiàn)l是過(guò)P和Q的公切線(xiàn)，則①式和②式都是l的方程消去x2得方程2＋2x1＋1＋a＝0，此方程Δ＝4－4×2(1＋a)． 　　由Δ＝0，得a＝－，解得x1＝－，此時(shí)P與Q重合，即當(dāng)a＝－時(shí)，C1和C2有且僅有一條公切線(xiàn)． 　　由①得公切線(xiàn)方程為y＝x－． 　　(2)證明：由(1)可知，當(dāng)a＜－時(shí)，C1和C2有兩條公切線(xiàn)，設(shè)一條公切線(xiàn)上切點(diǎn)為P(x1，y1)、Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，則有x1＋x2＝－1，y1＋y2＝＋2x1＋(＋a)＝＋2x1－(x1＋1)2＋a＝－1＋a，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為(－，)． 　　同理，另一條公切線(xiàn)段的中點(diǎn)也是(－，)， 　　所以公切線(xiàn)段PQ和互相平分。