Question

已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值為8，求二次函數f(x)的解析式．

Answer 1

f(x)＝－4x²＋4x＋7

(解法1：利用一般式)設f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，解得
∴所求二次函數為f(x)＝－4x²＋4x＋7.
(解法2：利用頂點式)設f(x)＝a(x－m)²＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴拋物線對稱軸為x＝＝，即m＝；又根據題意，函數最大值y_max＝8，
∴n＝8，∴f(x)＝a²＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4.
∴f(x)＝－4²＋8＝－4x²＋4x＋7.
(解法3：利用兩根式)由題意知f(x)＋1＝0的兩根為x₁＝2，x₂＝－1，故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax²－ax－2a－1.又函數有最大值y_max＝8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函數的解析式為f(x)＝－4x²－(－4)x－2×(－4)－1＝－4x²＋4x＋7