Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，過其右焦點與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限交于點，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為，，點是橢圓上的動點，且點與點，不重合，直線，與直線分別交于點，，求證：以線段為直徑的圓過定點.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由，得，又，且，聯立求解出、、的值，即可求出橢圓方程；

（Ⅱ）設點，由點在橢圓上和直線、的斜率求出，設直線、的方程，求出點和點的坐標，設圓過定點，為直徑，所以，化簡后即可得到定點.

（Ⅰ）由，得，

又因為，且，

得，，，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題意，點，點，

設點，則，得，

又設直線，的斜率分別為，，

則，，

所以，

∴直線：，直線：，

所以點，，

假設過定點，

由得

，

所以得，

令，得或，

所以過定點，.