Question

（2010•武漢模擬）已知過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，直線OM、ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別與準(zhǔn)線l：x=-

p

2

相交于P、Q兩點(diǎn)，則∠PFQ=（　　）

• A．

  π

  6

• B．

  π

  4

• C．

  π

  3

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：假設(shè)直線MN的方程與拋物線方程聯(lián)立，判斷MQ⊥PQ，NP⊥PQ，再利用拋物線的定義可得相等的角，進(jìn)而可求∠PFQ=90°

解答：解：由題意，設(shè)直線MN的方程為：x=my+

p

2

代入拋物線y²=2px（p＞0），可得y²-2mpy-p²=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1y2=-p2
∵OM的方程為：y=

y1

x1

x，ON的方程為：y=

y2

x2

x，直線OM、ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別與準(zhǔn)線l：x=-

p

2

相交于P、Q兩點(diǎn)
∴P(-

p

2

，-

p2

y1

)，∴Q(-

p

2

，-

p2

y2

)
∵y1y2=-p2
∴P(-

p

2

，y2)，Q(-

p

2

，y1)
∴MQ⊥PQ，NP⊥PQ，
∴∠MQF=∠QFO，∠NPF=∠PFO
∵過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)
∴MQ=MF，NP=NF
∴∠MQF=∠MFQ，∠NFP=∠NPF
∴∠PFQ=90°
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的過(guò)焦點(diǎn)弦，計(jì)算要小心，屬于中檔題．