Question

設是兩個互相垂直的單位向量，已知向量且向量，
（1）求f（k）的表達式．
（2）求f（k）的值域及夾角θ=60°時的k值．
（3）在（1）的條件下解關于k的不等式：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，可求=2k，=，，代入f（k）=cosθ=可求
（2）由1+2k²≥2k可得f（k）∈（0，1]結合θ=60°可知cosθ=，可求k
（3）由（1）可得f[f（k）]==?，k＞0，分類討論：分a＞0時，當a=0時，當a＜0時，三種情況分別求解
解答：解：（1）∵∴，
∵
∴==2k
∵=，同理可得  
∴f（k）=cosθ==（k＞0）…（4分）
（2）因為1+2k²≥2k當且僅當k=1時等號成立
所以f（k）∈（0，1]，
當θ=60°時，cosθ=
∴  （8分）
（3）由（1）可得f[f（k）]=f（）==
?4k³+4k＜-3ak²+（4+a²）k
?k（4k²+3ak-a²）＜0
?，
∵k＞0
當a＞0時，解可得0＜k＜
當a=0時，解為k＜0且k＞0，此時k不存在
當a＜0時，解為0＜k＜-a
綜上所述：當a＞0時，解集為{k|0＜k＜}；
當a=0時，解集為∅
當a＜0時，解集為{k|0＜k＜-a}（12分）
點評：本題主要考查了向量的數量積的應用，向量夾角公式的應用，及不等式的求解，屬于綜合試題