Question

已知正項數列{a_n}的前n和為S_n，且

Sn

是

1

4

與（a_n+1）²的等比中項．
（1）求證：數列{a_n}是等差數列；
（2）若bn=

an

2n

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（3）在（2）的條件下，是否存在常數λ，使得數列{

Tn+λ

an+2

}為等比數列？若存在，試求出λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可得sn=

1

4

(an+1) 2，利用an=

sn-sn-1，n≥2 s1，n=1

可把已知條件轉化為a_n-a_n-1=2，從而可證．
（2）由（1）代入可得bn=

2n-1

2n

，用“乘公比錯位相減”求數列的和．
（3）假設存在常數λ，使得數列為等比數列?

Tn+λ

an+2

=

3+λ

2n+3

-

1

2n

，結合等比的通項公式可得

λ+3

2n+3

=0，從而可求λ．

解答：解：（1）∵Sn=

1

4

(an+1)2，∴a1=S1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1（a_n＞0）
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}為等差數列．（4'）
（2）由（1）知，{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=2n-1
∴bn=

2n-1

2n

，①
Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，①

1

2

Tn=    

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

∴Tn=3-

2n-3

2n

（9'）
（3）∵

Tn+λ

an+2

=(3-

2n+3

2n

+λ)

1

2n+3

=

3+λ

2n+3

-

1

2n

易知，當λ=-3時，數列{

Tn+λ

an+2

}為等比數列．（13'）

點評：本題考查了利用遞推公式求數列的通項公式及利用定義證明數列為等差數列，還考查了等比數列的通項公式，錯位相減求數列的和等知識的綜合，屬于對基本知識、基本方法的簡單運用的考查．