Question

【題目】已知數列中，，，的前項和為，且滿足（）.

（1）試求數列的通項公式；

（2）令，是的前項和，證明：；

（3）證明：對任意給定的，均存在，使得時，（2）中的恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

(1)由題意首先整理所給的遞推關系式，然后利用累加法即可求得數列的通項公式；

(2)結合(1)中的通項公式裂項求和求得數列的前項和即可證得題中的結論；

(3)首先求解不等式得到實數n的取值范圍，然后結合所得的結果給出的值即可.

（1）由題意知（n≥3），

即（n≥3），

，n≥3.

檢驗知n=1，2時，結論也成立，

故.

（2） 由于bn===

故

，

所以，.

（3）若Tn＞m，其中m∈（0，），則有＞m，

則2n+1＞，

故，

取（其中[x]表示不超過x的最大整數），

則當時，.