Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上頂點為A，點B、C在橢圓上，且左、右焦點F₁，F₂分別在等腰三角形ABC兩腰AB和AC上．若橢圓的離心率e=

3

3

，則原點O是△ABC的（　　）

A．外心

B．內心

C．重心

D．垂心

Answer 1

分析：通過橢圓的離心率設出c，求出a，b，推出橢圓方程，求出AF₂直線方程與橢圓的交點C的坐標，然后求解CO的斜率，AF₁的斜率，如果滿足斜率乘積為-1，即可判斷O為垂心，如果O滿足重心坐標公式也可得選項．

解答：解：因為橢圓的離心率e=

3

3

，
所以設C=

3

，則a=3，b=

6

，
所以橢圓的方程為：

x2

9

+

y2

6

=1，
所以A（0，

6

）
F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），所以AF₂的方程為：

x

3

+

y

6

=1，
聯立直線與橢圓方程可得：

x 3 + y 6 =1 x2 9 + y2 6 =1

，
消去x化簡可得：

y2

3

-

y

6

-1=0，解得y=

6

或y=-

6

2

，
所以C（

3

2

，-

6

2

），則B（-

3

2

，-

6

2

），
O的坐標（0，0），滿足

3 2 - 3 2 +0

3

=0，

- 6 2 - 6 2 + 6

3

=0；
所以O是三角形△ABC的重心．
故選C．

點評：本題考查橢圓的簡單性質的應用，直線與橢圓的位置關系，三角形的重心坐標的求法，考查計算能力．